Partie C : histoire et bilan

Au début du XVIII^e siècle, Isaac Newton observe que, lorsqu’un objet chaud est placé dans un environnement plus froid, il perd de la chaleur. Ses expériences l’amènent à formuler une loi physique simple, mais puissante : la vitesse de refroidissement d’un objet est proportionnelle à la différence de température entre l’objet et son environnement.

On considère :

• \(T(t)\) : la température de l’objet à l’instant \(t\) ;
• \(T_{\text{env}}\) : la température constante de l’environnement ;
  
• \(k > 0\) : une constante liée aux propriétés du système (matériau, surface, etc.).
  

La loi se traduit par l’équation différentielle suivante : \(\dfrac{dT}{dt} = -k (T - T_{\text{env}})\).

Cette équation exprime que, plus \(T(t)\) est éloignée de \(T_{\text{env}}\)​, plus la variation est rapide. Le signe négatif indique que la température de l’objet diminue avec le temps (refroidissement). Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Sa solution générale est : \(T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}}) \cdot \text{e}^{-kt}\), où :

• \(T_0 = T(0)\) est la température initiale de l’objet au temps \(t=0\) ;
• \(\text{e}^{-kt}\) est un facteur exponentiel décroissant dans le temps.
  

Ainsi :

• la température de l’objet diminue de façon exponentielle ;
• elle se rapproche progressivement de celle de l’environnement sans jamais vraiment l’atteindre ;
• la constante \(k\) détermine la rapidité du refroidissement.